Программные инструментальные средства для решения систем нелинейных дифференциальных уравнений методом гармонического баланса

Метод гармонического баланса был разработан Н.М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым и в дальнейшем развит другими учеными. Этот метод является одним из широко распространенных приближенных приемов отыскания периодических режимов в нелинейных колебательных системах; он основан на том обстоятельстве, что, несмотря на наличие нелинейностей, установившиеся колебания в системе при определенных условиях оказываются близкими к гармоническим.

Точное определение форму и параметров периодических режимов возможно только для некоторых типов нелинейных систем, в частности релейных. Для исследования предельных циклов в системах второго порядка весьма удобен метод фазовой плоскости. Однако во многих случаях системы управления описываются моделями высоких порядков и имеют сложные нелинейные характеристики. Важную информацию о существовании периодических режимов в нелинейных системах, их числе и параметрах может дать метод гармонического баланса. По результатам, полученным этим методом, могут быть оценены начальные условия для моделирования систем на ЭВМ с целью последующего уточнения форм и параметров локализованных периодических режимов.

Решение представляемое метод гармонического баланса тем точнее, чем больше гармоник учитывается в полученном гармоническом решении.

Основной проблемой из-за которой данный не получил большого распространения его полной реализации остается огромная емкость вычислений. Современные вычислительные средства позволяют преодолеть этот вычислительный барьер.

В основном решение представлялось одной гармоникой, и практически всегда анализировалась системы, описанные одним дифференциальным уравнением. Так, как разложение решения в ряд Фурье обладает фильтрующими свойствами, то возможно анализировать и этот результат, но для большей точности и уверенности в правильности проведенного анализа системы на основе полученного решения, предпочтительно иметь более точное решение.

Рассмотрим основную идею метода гармонического баланса для системы нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка, решением которой являются периодические функции:

(1)

Где k_i , (i=1,2,..n);Функции зависящие от x_j , (j=1,2,…,n).

Запишем эту систему в матричном виде:

Найдем обратную матрицу для K, M=K^-1, Элементы матрицы M – функции от x_i (i=1,2,…,n).

Получаем систему уравнений:

(2)

Искомые периодические решения могу быть представлены в виде:

x_i =A_i0+A_i1cos(ω_it)+B_i1sin(ω_it)+...+A_ikcos(ωit)+B_iksin(ω_it)+... ; (i=1,2,..n) (3)

Подставив выражения (3) в (2)получаем периодические функции:

Ф_i(t)=-ω²(A_­i1cos(ω_it)+B_i1sin(ω_it))-4ω²(A_i2cos(2ω_it)+B_i2sin(2ω_it))+…