Получим уравнения расчета балок из материалов, имеющих нелинейную диаграмму деформирования. Пусть балка имеет прямоугольное поперечное сечение.

Рис. 1. Схема распределения напряжений по высоте сечения балки

В поперечных сечениях балки действуют равнодействующие нормальных напряжений – сжимающие N_c и растягивающие N_p усилия (рис. 1).

Экспериментальные данные таких материалов - как бетон, различные сплавы, композиты показывают, что зависимость между интенсивностями напряжений σ_i и деформаций e_i можно аппроксимировать в виде кубической параболы.

, (1)

где Е - начальный модуль упругости, а Е₁ и Е₂ - постоянные, учитывающие степень нелинейности материала (принимаются из опытных данных).

Для балки можно выразить интенсивность деформаций через составляющие деформации, а затем – кривизну

, (2)

где кривизна.

Тогда интенсивность напряжений запишется следующим образом:

. (3)

Поставим задачу определения высоты сжатой зоны, деформаций, а так же определения напряжений в каждой точке поперечного сечения.

Имея эпюру распределения нормальных напряжений по поперечному сечению балки (рис. 1) и зная, что система должна находится в равновесии, составим уравнения равновесия.

Спроецируем все силы на продольную ось х:

, . (4)

Подставив выражение (3) в (4) получим

(5)

Составим сумму моментов относительно нейтральной оси:

, . (6)