, (3)

где с – сцепление пород;

γ – удельный объёмный вес пород.

В предложенном мной методе ширина призмы возможного обрушения не определяется по какой-либо формуле, а задаётся с определённым шагом в промежутке от 0 до максимального значения ширины призмы возможного обрушения, которое находится по формуле[1].

, (4)

где Н – высота откоса;

α – угол откоса.

Для каждого из заданных значений ширины призмы возможного обрушения В₀ определяется положение поверхности скольжения и находится соответствующий её коэффициент запаса устойчивости.

Положение линии скольжения определяется исходя из следующих условий:

1. Наклон касательной в любой точке рассматриваемой кривой определяется углом μ между направлением радиуса-вектора R_i и положительным направлением касательной.

2. Угол θ_n (угол между начальным и конечным радиусами логарифмической спирали) изменяется от 180° до 90°-α.

Из схемы, представленной на рисунке 1 видно, что

В₀=ВЕ, R_0min=BC, R₀=AB, R_n=FG=FD+DC+CA

Тогда из треугольника BCD следует, что

; (5)

Из треугольника ABC следует, что

; (6)

, (7)

где R_0min – минимально возможное значение R₀.

Меняя угол θ_n с определённым шагом, для каждого его значения вычисляются R₀ и R_n и производится их сравнение на соответствие уравнению логарифмической спирали (1) по формуле

. (8),

Коэффициент запаса устойчивости определяется по формуле

; (9)

, (10)

где l – длина линии скольжения;

I₁ – сумма моментов удерживающих сил;

I₂ – сумма моментов сдвигающих сил.

Сумма моментов удерживающих сил вычисляется по формуле

; (11)

; (12)

; (13)

, (14)

где Р_i – масса элементарного столбика в i-ой точке криволинейной поверхности скольжения;

δ_i – угол наклона элементарной площадки скольжения к горизонту в i-ой точке;

t – угол между R₀ и вертикалью;

dL – длина элементарной площадки;

θ_i – угол между R₀ и R_i;

h_i – высота элементарного блока.

Путём математических преобразований получаем