МКЭ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ОГРАНИЧЕНИЙ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Одним из важнейших аспектов при проектировании строительных конструкций является выбор их оптимальных параметров. Выбор критерия оптимальности – одна из основных проблем, возникающих при решении такого рода задач. Наибольшее распространение получили задачи, в которых в качестве такого критерия принят вес или объем при соблюдении условий прочности, жесткости и устойчивости [1].

Рис. 1.

В математическом отношении задачи оптимального проектирования являются задачами оптимизации. Математическая формулировка задач оптимизации включает в себя [2]:

1. Выбор целевой функции ;
2. Формирование ограничений, накладываемых на аргументы целевой функции .

Рассмотрим задачу проектирования фермы минимального веса с заданными ограничениями на перемещения узлов (рис. 1). Горизонтальное перемещение узлов не более 7 мм, вертикальное 10 мм.

Целевая функция для заданной фермы примет вид:

(1)

Для получения системы ограничений, органически связанной с конструкцией воспользуемся методом конечного элемента (МКЭ), удовлетворив основному уравнению МКЭ: . Сформируем вектора узловых перемещений и внешних узловых сил

. (2) (3)

Формируем матрицу жесткости системы:

Матрицы жесткости I, II, III, IV, V, VI элементов:

I элемент:

II элемент:

III элемент:

IV элемент: